洪泛平原
洪泛平原
一、洪泛平原的特徵和形成
二、洪泛平原形成的数学模型研究
二、洪泛平原形成的数学模型研究
由于国际上对河流环境的研究的趋势是将其作为一个整体体系来观察分析，因此产生了所谓的“河道走廊”(River corridor)的概念。河道走廊体系不仅包括河道本身，而且包括河溪边岸区域和洪泛平原(Floodplain)，洪泛平原有时也被称为冲积平原。洪泛平原是河道走廊体系的地貌组成部份，作为一个泥沙及营养物质的自然储存体，它对河道走廊有机物质的生产力和生态体系有极重要的影响。洪泛平原的面积大小及地貌特徵的不同，对洪水水文过程的控制作用也不同。
在河流流域生态系统中，生物种群与环境相互作用最明显的地方就是洪泛平原，洪泛平原还是人类安居乐业的“鱼米之乡”。洪泛平原系统依靠四个基本要素得以自然延续。这些要素中，第一个要素是，由随机和周期性的洪水所携带的物理、化学和生物成份，为洪泛平原不断带来新的生机；第二个要素是生态系统水份和养份的自然的动态平衡；第三个要素是洪泛平原流域生态系统的整体性和连续性；最后一个要素是生态系统抵抗环境变动的能力。
在洪泛平原的形成中，最重要的过程是通过河流运动而进行的泥沙运移和河岸侵蚀活动。如果在河流上修建大坝，河流中的泥沙运移过程就会改变。例如，埃及的尼罗河在建阿斯旺大坝之前，每日携带的泥沙量达到六点四亿立方米，但大坝建成以后，每年就有近一点八亿立方米的泥沙被截留在大坝水库内。当河流中的泥沙运移过程受到水利工程的影响而改变时，维持洪泛平原生态系统稳定的上述四个要素，也就会相应地发生变化，进而导致洪泛平原生态系统的异常变化。
因为洪泛平原对人类的生存非常重要，而在河流上修建大坝会改变洪泛平原的自然环境和生物种群，所以这已经越来越多地为人们所重视。要更好地了解、把握洪泛平原的演变，就需要对洪泛平原的形成和变化机理作深入的研究。本文先介绍洪泛平原的特徵和形成，然后再深入讨论河床水力和泥沙运移、河岸侵蚀、洪泛平原泥沙堆积等三个重要的数学模型。这些模型都是作者近年来研究的结果，现将它们介绍给国内读者，希望对三峡工程的泥沙模拟研究有一定的参考价值。
一、洪泛平原的特徵和形成
洪泛平原属于冲积地貌，它的形成和发展与河流的形成和发展紧密相连，其地质地貌特徵充份反映了其起源特点。按起源和地貌特徵来看，洪泛平原可大致分为两类，即洪泛平原和河成阶地(Fluvial terraces)。洪泛平原与河成阶地的重要区别在于，洪泛平原的形成主要受现时河流及其水文过程的影响，并经历着周期性洪水淹没；而河成阶地则属于废弃的洪泛平原，是在古代河流的影响下形成的，河成阶地一般不受周期性洪水淹没。
1. 洪泛平原
洪泛平原处于河谷之间的相对平缓地，其地貌特徵可分为河道地貌及平原地貌。河道地貌包括河道本身(曲流河道和网状河道)、河道沙洲、曲流河道内侧岸槽坝、沙岭、泥沼死水区等河道内地貌。平原地貌包括自然堤、泥沙淤满的废弃河道、牛轭湖、河漫滩沼泽地等河道以外的地貌。
洪泛平原的形成机理主要有两种，即河岸侵蚀及曲流河道位移所造成的侧向堆积，以及洪水周期性满岸漫流所造成的垂直向堆积。河岸侵蚀主要发生在曲流河道外侧岸，而侧向堆积则主要发生在曲流河道内侧岸。当水流从直段河道进入弯段河道时，由于河槽轴线和岸壁都在不断地改变方向，因此对水流产生纵向阻力，迫使水流也在不断改变其纵向流动方向，引起对曲流河道外侧岸的冲刷侵蚀。同时，外侧岸对水流的横向附加压力，使岸边水位壅高，产生横向水面坡度，由此而引起的河流断面环流，加剧了水流对曲流河道外侧岸的侵蚀，而有利于曲流河道内侧岸的泥沙淤积。这种冲刷侵蚀带走大量泥沙，使得河岸不断向外扩张；与此同时，泥沙在沿曲流河道内侧岸不断沉积，形成沙洲。
从曲流河道内侧岸沉积物的组成特徵来看，粗质砾石占很大比例。在低水位期间，河流挟带的部份泥沙暂时沉积在河床上；待高水位和满岸漫流期间，这些暂时沉积在河床上的沉积物将与岸边新侵蚀的泥沙一起被水流冲向下游。多年的曲流河道内侧岸泥沙沉积使得沙洲逐渐朝侧向扩张，其砂砾沉积层有时可延伸至整个谷间地。这种侧向堆积的最大厚度决定于洪水期间水流冲刷的深度，而且其厚度沿下游方向不断增加。
洪泛平原形成和发展的另一个重要机理是洪水期间满岸漫流所造成的垂直向堆积。当洪水水量超过河道导流能力时，洪水开始溢出河道，向河岸两侧漫流。在此过程中，河道水流与满岸漫流之间产生了大幅度动量交换。在近河边洪泛平原上动量交换最剧烈的区域里，水流速度和切应力随离河道距离的增加而急剧减小。因此，漫流洪水挟沙能力也急剧减小，导致泥沙在此区域中大量淤积，形成很多天然堤。随着漫流进一步远离河道，水流速度和切应力减小的速度大大放慢，因此，泥沙开始逐渐均匀地沉积在洪泛平原上，随洪水扩散到洪泛平原上的质地较粗的物质在近河道区域内大量堆积，而洪水夹带的悬移细质物质则可在所有洪水淹没的地方逐渐沉积下来。
与洪泛平原地貌形成过程相似的情况也发生在网状河道密集的地区，但是在网状河道环境下形成的地貌其形状更加不规则，废弃的旧河道与河中岛常常连接起来、从而形成连续的洪泛平原。这样形成的地貌也处在更加不稳定的动态中，河岸侵蚀不仅仅局限在某一固定的河岸侧；而且即使没有侧向河岸侵蚀和沙洲形成，河床也常常频繁改道。由于网状河道中水流深度较浅，因此，洪泛平原沉积厚度也比较小。
在这两个洪泛平原形成机理中，哪一种起着主导作用，目前在地貌学界还没有一个统一的结论。许多研究结果表明，满岸漫流导致的垂直向堆积在洪泛平原的形成初期起着主要作用，而在洪泛平原形成后期则以侧向侵蚀堆积过程为主。当然，在某些特定的环境下，如曲流河道侧向移动范围不很大，由满岸漫流导致的垂直向堆积作用也可成为洪泛平原后期的主要形成过程。
2. 河成阶地
河成阶地属于一种废弃的洪泛平原，不受周期性洪水影响，其物质组成一般也与洪泛平原相似。河成阶地的主要地貌特徵，包括阶地(即原有洪泛平原表面)和介于阶地与现代洪泛平原之间的侵蚀陡坡面。河成阶地的形成，主要是由于气候变迁或大范围地质构造变化、引起现代河谷的河床向下嵌入古代洪泛平原而造成的。
由于气候变化造成河成阶地的原因很多，例如在冰川期，海洋水平面降低导致河道侵蚀基准面降低，于是河流下游发生下切侵蚀，形成河成阶地。气候由干转湿、河水量增加、侵蚀量加剧，也会造成河成阶地。地质构造变化形成的阶地是河成阶地形成的一种最普遍的方式。在地壳相对稳定或下降时，河流侵蚀堆积产生河漫滩形，堆积冲积层，形成洪泛平原。而在地壳上升期，侵蚀基准面下降，河流下切形成河成阶地。经过反复的堆积－下切过程，有时也可能形成多层阶梯式的河成阶地。
二、洪泛平原形成的数学模型研究
通过对洪泛平原地貌的长期实地调查和对其形成机理的深入研究，地貌学界对洪泛平原地貌特徵及物理形成机理已经有了比较全面的理解。但是，有关洪泛平原形成的数学模型研究，特别是以其地貌发展物理过程、机理为基础的数学模型研究，目前还处在探索阶段。
如上所述，洪泛平原的形成受多种多样的地貌过程影响，其中河床水力及泥沙运移、河岸侵蚀及河道位移、洪泛平原的泥沙沉积是三个极为重要的洪泛平原地貌形成过程。因此，任何有关洪泛平原形成的数学模型都必须考虑和包括这些地貌过程，下面对当前洪泛平原形成的数学模型之发展作一简要介绍。
1. 河床水力及泥沙运移模型
河床河岸侵蚀及泥沙运移决定于河道内水力的速度和深度。河道内水流和泥沙运移模型是整个洪泛平原模型研究中最透彻的一个部份。根据流体动力学原理，任何三维空间恒定流动状态中水流都可以用下列方程表示：
其中，s, n, z，分别为水流流线方向、与流线垂直的法线方向、重力加速度方向； R：曲率方向参数； u, v, w，为速度在s, n, z 方向上的份量； Fs, Fn, Fz，为摩擦力(切应力)在s, n, z 方向上的份量； g为重力加速度； p为静水压力； ρ为水比重。
如忽略垂直方向泥沙含量的变化，其相应的泥沙质量守恒连续方程为： 其中，Zb为河床高度； Sn, Ss，为泥沙流量在n, s方向上的份量； t为时间。
此系列方程目前无解析解，而数值解又非常困难，其实际应用价值是极其有限的。大多数在实际中应用的水力学数学模型是从此方程简化而来的，其中包括沿垂直方向取平均而得到的二维偏微分方程和通过高度参数化、线性化而得到的一维方程。用这些水力学方程计算出河道水力特徵后，可用一些通用的河道动床泥沙侵蚀运移公式(如Einstein公式、Meyer-Peter&Muller公式、及其他各种类型的指数关系公式)，计算水流对河床的侵蚀能力及夹沙能力。
2. 河岸侵蚀
尽管河岸侵蚀受很多因素的影响，然而河道内水流作用对曲流河道的形成起决定性作用。因此，在建立河岸侵蚀数学模型时，可以忽略其他因素，而只考虑河道内水流的作用，特别是在模拟较长时间尺度的河岸侵蚀过程时，绝大多数河岸侵蚀数学模型都试图建立河道内水流水力特徵与河岸侵蚀率之间的关系。其中一个简单而实用的数学模型将河岸侵蚀率表达为近岸水流切应力的函数：
其中，Eb：河岸侵蚀率； η为河岸可蚀性参数，与河岸物质组成，河道弯曲形状和水流状况有关； τ'为近河岸水流切应力； τ为河道湿周平均水流切应力。
从此公式进一步推导，可以得到河岸侵蚀率与近岸水流速之间的更为简化的数学关系： 其中，u'为近河岸水流速度； U为河道平均水流速度。
上式表明河岸侵蚀率与近河岸水流速成正比关系，类似的公式也在许多河岸侵蚀数学模型中被采用。许多野外实际观测数据也表明，近河岸水流速与河岸侵蚀率之间有着很高的线性关系。此外，Odgaard，Osman和Thorne以及Lapointe和Carson认为，河岸侵蚀率和近河岸水流的深度之间有着更好的线性关系，从而提出： 其中，h'为近河岸水流速度； H为河道平均水流速度。
Howard指出，应用以上两种公式模拟河岸侵蚀河岸弯曲道侧向位移时，其结果将会不同。曲流河道外侧岸最大流速相位一般落后于其河道最大弯曲曲率段相位，这种现象将导致河道弯曲段向下游和侧方同时位移，以至最终导致河道曲流截直。而曲流河道外侧岸最大水深则一般与河道最大弯曲曲率段同相位或超前，这种现象将导致河道弯曲段不断向外扩张，而基本上不会向下游位移。因此，上述两公式在实际应用中都有一定的缺陷。为此，Howard建议应用下列组合公式：
其中，α、β：两个权重参数，用来表明以上两个因素的相对重要性，
此公式比上述两公式更为一般，当α或β取零时，此公式与以上两公式是相等的。
3. 洪泛平原泥沙堆积
与河道水流和泥沙运移的研究相比，对洪泛平原泥沙(垂直)堆积过程的研究及相应的数学模型的发展相对比较落后。从以上讨论中可以看到，泥沙在洪泛平原上堆积的主要原因是，当洪水漫流到洪泛平原上后，洪水流速及切应力减小而导致洪水中夹带的泥沙在洪泛平原上大量沉积。在近河边洪泛平原上，水流速度和切应力随河道距离的增加而急剧减小。作为扩散运移(Diffusive process)的质地较粗的物质在近河道区域内大量堆积，随着与河道距离的增大，洪水中所含粗质减少，因而堆积率也减小。而随洪水悬移的细粒物质则可在洪泛平原上任何地方沉淀，与离河道的远近基本上无关。泥沙在洪泛平原上的堆积的快慢与洪泛平原地势的高低也有关系，与河道相比地势低，堆积率则高；随着洪泛平原年龄的增加，地势也在增加，因此，其堆积率也在减小。
要计算洪泛平原上泥沙的堆积率，首先要计算洪泛平原上满岸漫流洪水的水文特徵，包括总溢流量、流速、深度等，以及洪水夹带的泥沙量和泥沙性质。Mertes在亚马逊河中游洪泛平原地貌研究中，采用了下列方法计算洪泛平原泥沙堆积率。他首先利用Muskingum模型，再根据Dunne and Leopold方法，利用上下游流量差计算出洪水向洪泛平原的溢流量，并利用实际测量数据估算出洪水夹带的泥沙量。因此，洪泛平原上总泥沙堆积率可以用下列近似关系给出：
其中，Ed：泥沙在洪泛平原上堆积率； δ：可沉积泥沙系数； qs：洪水夹带的泥沙搬运率； Lc：洪水满岸漫流河岸长度。
此公式虽然简单，但没有反映洪泛平原形成的物理机理，而且其应用依赖于大量的实地观测数据。
Howard最近提出了一个新的公式，以计算洪泛平原上总泥沙堆积率，该公式根据洪泛平原泥沙堆积规律，将洪泛平原上总泥沙堆积率表达为洪泛平原高度、悬移细质物沉淀率和粗沙特徵扩散距离(Characteristic Diffusion)的函数，即： 其中，Ed：洪泛平原上局部泥沙总沉积率； Zm：最大洪泛平原高度； Zh：洪泛平原局部高度； E1：悬移细物质沉积率； E2：扩散粗物质沉积率； λ：粗沙特徵扩散距离； D：洪泛平原局部点与河道之间距离。
此公式虽然对洪泛平原形成过程机理有所考虑，但是对洪泛平原形成过程物理机理的描述还是非常粗略的。
以上简单地介绍了洪泛平原主要组成部份的数学模型。但是，目前地貌学界将洪泛平原作为一个整体系统来考虑的数学模型还很少，Howard是为数极少的几个对洪泛平原整体系统进行数学模拟的地貌学家。Howard模型除包括以上的几个洪泛平原主要组成部份模型外，还包括一些表达河道坡度、水面坡度、河道弯曲率和曲折度、以及河床宽深比之间的经验公式。虽然其模拟结果大致反映了实际观测的洪泛平原一般的形成过程及基本特徵，但是Howard模型还有许多缺陷，比如它很少产生自然堤，而且有些地貌特徵与实际特徵有较大出入。
除了对洪泛平原数学模型的研究，近来地貌学界也开始运用卫星遥感技术，对洪泛平原的地貌特徵及洪泛平原上周期性洪水满岸漫流特徵，作大尺度定量测量，并用随机理论及统计数学的最新发展(例如fractal理论)，对洪泛平原的特徵进行数量描述。这方面的发展对洪泛平原形成机理的研究、数学模型的发展和对洪泛平原的利用将有重大的意义。
结语
本文对洪泛平原地貌特徵、形成机理和数学模型发展现状做了一个简单的介绍。从中可以看出，洪泛平原作为一种冲积地貌，是许多环境因素长期作用下的产物，它的形成过程是很复杂的。在影响它形成的因素中，流域水文特徵、河道水文水力特徵及其泥沙条件，对洪泛平原的形成起着决定性作用，在洪水期间尤其如此。侧向侵蚀与堆积和垂直向堆积是洪泛平原形成的两个主要地貌过程，它们主要发生在洪水期间。
目前，地貌学界对洪泛平原形成机理和数学模型的研究还很不成熟。虽然数学模型的研究中，某些方面，如对河道水流和泥沙运移等方面数学模型的研究，已发展得比较完善，但是，把洪泛平原作为一个整体系统来进行的研究还处在描述阶段。而洪泛平原的形成过程之长、影响其形成的因素之复杂，使得我们几乎不可能在任何人工控制的试验中重复这一形成过程。洪泛平原研究所面临的一个重要的课题，就是发展以洪泛平原形成的物理机理为基础的数学模型。此类数学模型不仅可以用来模拟洪泛平原形成过程，而且还可以用来预测其环境因子的变化对洪泛平原形成过程及地貌特徵的影响。
目前，对洪泛平原的研究多侧重于自然形成过程；然而，随着人类对洪泛平原利用的不断扩大，洪泛平原将会受到极大的影响。例如，河道上游及沿河土地利用、大型河道工程等，对洪泛平原地貌的长远变迁、以及对整个河道走廊生态体系的影响是非常大的，而且有些影响还很可能是不可逆转的。因此，对洪泛平原地貌的研究必须考虑人类行动的后果，特别是那些巨型大坝建造后可能产生的后果，以避免由于人类的活动而造成不可逆转的对生态和环境的负作用。
在河流流域生态系统中，生物种群与环境相互作用最明显的地方就是洪泛平原，洪泛平原还是人类安居乐业的“鱼米之乡”。洪泛平原系统依靠四个基本要素得以自然延续。这些要素中，第一个要素是，由随机和周期性的洪水所携带的物理、化学和生物成份，为洪泛平原不断带来新的生机；第二个要素是生态系统水份和养份的自然的动态平衡；第三个要素是洪泛平原流域生态系统的整体性和连续性；最后一个要素是生态系统抵抗环境变动的能力。
在洪泛平原的形成中，最重要的过程是通过河流运动而进行的泥沙运移和河岸侵蚀活动。如果在河流上修建大坝，河流中的泥沙运移过程就会改变。例如，埃及的尼罗河在建阿斯旺大坝之前，每日携带的泥沙量达到六点四亿立方米，但大坝建成以后，每年就有近一点八亿立方米的泥沙被截留在大坝水库内。当河流中的泥沙运移过程受到水利工程的影响而改变时，维持洪泛平原生态系统稳定的上述四个要素，也就会相应地发生变化，进而导致洪泛平原生态系统的异常变化。
因为洪泛平原对人类的生存非常重要，而在河流上修建大坝会改变洪泛平原的自然环境和生物种群，所以这已经越来越多地为人们所重视。要更好地了解、把握洪泛平原的演变，就需要对洪泛平原的形成和变化机理作深入的研究。本文先介绍洪泛平原的特徵和形成，然后再深入讨论河床水力和泥沙运移、河岸侵蚀、洪泛平原泥沙堆积等三个重要的数学模型。这些模型都是作者近年来研究的结果，现将它们介绍给国内读者，希望对三峡工程的泥沙模拟研究有一定的参考价值。
一、洪泛平原的特徵和形成
洪泛平原属于冲积地貌，它的形成和发展与河流的形成和发展紧密相连，其地质地貌特徵充份反映了其起源特点。按起源和地貌特徵来看，洪泛平原可大致分为两类，即洪泛平原和河成阶地(Fluvial terraces)。洪泛平原与河成阶地的重要区别在于，洪泛平原的形成主要受现时河流及其水文过程的影响，并经历着周期性洪水淹没；而河成阶地则属于废弃的洪泛平原，是在古代河流的影响下形成的，河成阶地一般不受周期性洪水淹没。
1. 洪泛平原
洪泛平原处于河谷之间的相对平缓地，其地貌特徵可分为河道地貌及平原地貌。河道地貌包括河道本身(曲流河道和网状河道)、河道沙洲、曲流河道内侧岸槽坝、沙岭、泥沼死水区等河道内地貌。平原地貌包括自然堤、泥沙淤满的废弃河道、牛轭湖、河漫滩沼泽地等河道以外的地貌。
洪泛平原的形成机理主要有两种，即河岸侵蚀及曲流河道位移所造成的侧向堆积，以及洪水周期性满岸漫流所造成的垂直向堆积。河岸侵蚀主要发生在曲流河道外侧岸，而侧向堆积则主要发生在曲流河道内侧岸。当水流从直段河道进入弯段河道时，由于河槽轴线和岸壁都在不断地改变方向，因此对水流产生纵向阻力，迫使水流也在不断改变其纵向流动方向，引起对曲流河道外侧岸的冲刷侵蚀。同时，外侧岸对水流的横向附加压力，使岸边水位壅高，产生横向水面坡度，由此而引起的河流断面环流，加剧了水流对曲流河道外侧岸的侵蚀，而有利于曲流河道内侧岸的泥沙淤积。这种冲刷侵蚀带走大量泥沙，使得河岸不断向外扩张；与此同时，泥沙在沿曲流河道内侧岸不断沉积，形成沙洲。
从曲流河道内侧岸沉积物的组成特徵来看，粗质砾石占很大比例。在低水位期间，河流挟带的部份泥沙暂时沉积在河床上；待高水位和满岸漫流期间，这些暂时沉积在河床上的沉积物将与岸边新侵蚀的泥沙一起被水流冲向下游。多年的曲流河道内侧岸泥沙沉积使得沙洲逐渐朝侧向扩张，其砂砾沉积层有时可延伸至整个谷间地。这种侧向堆积的最大厚度决定于洪水期间水流冲刷的深度，而且其厚度沿下游方向不断增加。
洪泛平原形成和发展的另一个重要机理是洪水期间满岸漫流所造成的垂直向堆积。当洪水水量超过河道导流能力时，洪水开始溢出河道，向河岸两侧漫流。在此过程中，河道水流与满岸漫流之间产生了大幅度动量交换。在近河边洪泛平原上动量交换最剧烈的区域里，水流速度和切应力随离河道距离的增加而急剧减小。因此，漫流洪水挟沙能力也急剧减小，导致泥沙在此区域中大量淤积，形成很多天然堤。随着漫流进一步远离河道，水流速度和切应力减小的速度大大放慢，因此，泥沙开始逐渐均匀地沉积在洪泛平原上，随洪水扩散到洪泛平原上的质地较粗的物质在近河道区域内大量堆积，而洪水夹带的悬移细质物质则可在所有洪水淹没的地方逐渐沉积下来。
与洪泛平原地貌形成过程相似的情况也发生在网状河道密集的地区，但是在网状河道环境下形成的地貌其形状更加不规则，废弃的旧河道与河中岛常常连接起来、从而形成连续的洪泛平原。这样形成的地貌也处在更加不稳定的动态中，河岸侵蚀不仅仅局限在某一固定的河岸侧；而且即使没有侧向河岸侵蚀和沙洲形成，河床也常常频繁改道。由于网状河道中水流深度较浅，因此，洪泛平原沉积厚度也比较小。
在这两个洪泛平原形成机理中，哪一种起着主导作用，目前在地貌学界还没有一个统一的结论。许多研究结果表明，满岸漫流导致的垂直向堆积在洪泛平原的形成初期起着主要作用，而在洪泛平原形成后期则以侧向侵蚀堆积过程为主。当然，在某些特定的环境下，如曲流河道侧向移动范围不很大，由满岸漫流导致的垂直向堆积作用也可成为洪泛平原后期的主要形成过程。
2. 河成阶地
河成阶地属于一种废弃的洪泛平原，不受周期性洪水影响，其物质组成一般也与洪泛平原相似。河成阶地的主要地貌特徵，包括阶地(即原有洪泛平原表面)和介于阶地与现代洪泛平原之间的侵蚀陡坡面。河成阶地的形成，主要是由于气候变迁或大范围地质构造变化、引起现代河谷的河床向下嵌入古代洪泛平原而造成的。
由于气候变化造成河成阶地的原因很多，例如在冰川期，海洋水平面降低导致河道侵蚀基准面降低，于是河流下游发生下切侵蚀，形成河成阶地。气候由干转湿、河水量增加、侵蚀量加剧，也会造成河成阶地。地质构造变化形成的阶地是河成阶地形成的一种最普遍的方式。在地壳相对稳定或下降时，河流侵蚀堆积产生河漫滩形，堆积冲积层，形成洪泛平原。而在地壳上升期，侵蚀基准面下降，河流下切形成河成阶地。经过反复的堆积－下切过程，有时也可能形成多层阶梯式的河成阶地。
二、洪泛平原形成的数学模型研究
通过对洪泛平原地貌的长期实地调查和对其形成机理的深入研究，地貌学界对洪泛平原地貌特徵及物理形成机理已经有了比较全面的理解。但是，有关洪泛平原形成的数学模型研究，特别是以其地貌发展物理过程、机理为基础的数学模型研究，目前还处在探索阶段。
如上所述，洪泛平原的形成受多种多样的地貌过程影响，其中河床水力及泥沙运移、河岸侵蚀及河道位移、洪泛平原的泥沙沉积是三个极为重要的洪泛平原地貌形成过程。因此，任何有关洪泛平原形成的数学模型都必须考虑和包括这些地貌过程，下面对当前洪泛平原形成的数学模型之发展作一简要介绍。
1. 河床水力及泥沙运移模型
河床河岸侵蚀及泥沙运移决定于河道内水力的速度和深度。河道内水流和泥沙运移模型是整个洪泛平原模型研究中最透彻的一个部份。根据流体动力学原理，任何三维空间恒定流动状态中水流都可以用下列方程表示：
其中，s, n, z，分别为水流流线方向、与流线垂直的法线方向、重力加速度方向； R：曲率方向参数； u, v, w，为速度在s, n, z 方向上的份量； Fs, Fn, Fz，为摩擦力(切应力)在s, n, z 方向上的份量； g为重力加速度； p为静水压力； ρ为水比重。
如忽略垂直方向泥沙含量的变化，其相应的泥沙质量守恒连续方程为： 其中，Zb为河床高度； Sn, Ss，为泥沙流量在n, s方向上的份量； t为时间。
此系列方程目前无解析解，而数值解又非常困难，其实际应用价值是极其有限的。大多数在实际中应用的水力学数学模型是从此方程简化而来的，其中包括沿垂直方向取平均而得到的二维偏微分方程和通过高度参数化、线性化而得到的一维方程。用这些水力学方程计算出河道水力特徵后，可用一些通用的河道动床泥沙侵蚀运移公式(如Einstein公式、Meyer-Peter&Muller公式、及其他各种类型的指数关系公式)，计算水流对河床的侵蚀能力及夹沙能力。
2. 河岸侵蚀
尽管河岸侵蚀受很多因素的影响，然而河道内水流作用对曲流河道的形成起决定性作用。因此，在建立河岸侵蚀数学模型时，可以忽略其他因素，而只考虑河道内水流的作用，特别是在模拟较长时间尺度的河岸侵蚀过程时，绝大多数河岸侵蚀数学模型都试图建立河道内水流水力特徵与河岸侵蚀率之间的关系。其中一个简单而实用的数学模型将河岸侵蚀率表达为近岸水流切应力的函数：
其中，Eb：河岸侵蚀率； η为河岸可蚀性参数，与河岸物质组成，河道弯曲形状和水流状况有关； τ'为近河岸水流切应力； τ为河道湿周平均水流切应力。
从此公式进一步推导，可以得到河岸侵蚀率与近岸水流速之间的更为简化的数学关系： 其中，u'为近河岸水流速度； U为河道平均水流速度。
上式表明河岸侵蚀率与近河岸水流速成正比关系，类似的公式也在许多河岸侵蚀数学模型中被采用。许多野外实际观测数据也表明，近河岸水流速与河岸侵蚀率之间有着很高的线性关系。此外，Odgaard，Osman和Thorne以及Lapointe和Carson认为，河岸侵蚀率和近河岸水流的深度之间有着更好的线性关系，从而提出： 其中，h'为近河岸水流速度； H为河道平均水流速度。
Howard指出，应用以上两种公式模拟河岸侵蚀河岸弯曲道侧向位移时，其结果将会不同。曲流河道外侧岸最大流速相位一般落后于其河道最大弯曲曲率段相位，这种现象将导致河道弯曲段向下游和侧方同时位移，以至最终导致河道曲流截直。而曲流河道外侧岸最大水深则一般与河道最大弯曲曲率段同相位或超前，这种现象将导致河道弯曲段不断向外扩张，而基本上不会向下游位移。因此，上述两公式在实际应用中都有一定的缺陷。为此，Howard建议应用下列组合公式：
其中，α、β：两个权重参数，用来表明以上两个因素的相对重要性，
此公式比上述两公式更为一般，当α或β取零时，此公式与以上两公式是相等的。
3. 洪泛平原泥沙堆积
与河道水流和泥沙运移的研究相比，对洪泛平原泥沙(垂直)堆积过程的研究及相应的数学模型的发展相对比较落后。从以上讨论中可以看到，泥沙在洪泛平原上堆积的主要原因是，当洪水漫流到洪泛平原上后，洪水流速及切应力减小而导致洪水中夹带的泥沙在洪泛平原上大量沉积。在近河边洪泛平原上，水流速度和切应力随河道距离的增加而急剧减小。作为扩散运移(Diffusive process)的质地较粗的物质在近河道区域内大量堆积，随着与河道距离的增大，洪水中所含粗质减少，因而堆积率也减小。而随洪水悬移的细粒物质则可在洪泛平原上任何地方沉淀，与离河道的远近基本上无关。泥沙在洪泛平原上的堆积的快慢与洪泛平原地势的高低也有关系，与河道相比地势低，堆积率则高；随着洪泛平原年龄的增加，地势也在增加，因此，其堆积率也在减小。
要计算洪泛平原上泥沙的堆积率，首先要计算洪泛平原上满岸漫流洪水的水文特徵，包括总溢流量、流速、深度等，以及洪水夹带的泥沙量和泥沙性质。Mertes在亚马逊河中游洪泛平原地貌研究中，采用了下列方法计算洪泛平原泥沙堆积率。他首先利用Muskingum模型，再根据Dunne and Leopold方法，利用上下游流量差计算出洪水向洪泛平原的溢流量，并利用实际测量数据估算出洪水夹带的泥沙量。因此，洪泛平原上总泥沙堆积率可以用下列近似关系给出：
其中，Ed：泥沙在洪泛平原上堆积率； δ：可沉积泥沙系数； qs：洪水夹带的泥沙搬运率； Lc：洪水满岸漫流河岸长度。
此公式虽然简单，但没有反映洪泛平原形成的物理机理，而且其应用依赖于大量的实地观测数据。
Howard最近提出了一个新的公式，以计算洪泛平原上总泥沙堆积率，该公式根据洪泛平原泥沙堆积规律，将洪泛平原上总泥沙堆积率表达为洪泛平原高度、悬移细质物沉淀率和粗沙特徵扩散距离(Characteristic Diffusion)的函数，即： 其中，Ed：洪泛平原上局部泥沙总沉积率； Zm：最大洪泛平原高度； Zh：洪泛平原局部高度； E1：悬移细物质沉积率； E2：扩散粗物质沉积率； λ：粗沙特徵扩散距离； D：洪泛平原局部点与河道之间距离。
此公式虽然对洪泛平原形成过程机理有所考虑，但是对洪泛平原形成过程物理机理的描述还是非常粗略的。
以上简单地介绍了洪泛平原主要组成部份的数学模型。但是，目前地貌学界将洪泛平原作为一个整体系统来考虑的数学模型还很少，Howard是为数极少的几个对洪泛平原整体系统进行数学模拟的地貌学家。Howard模型除包括以上的几个洪泛平原主要组成部份模型外，还包括一些表达河道坡度、水面坡度、河道弯曲率和曲折度、以及河床宽深比之间的经验公式。虽然其模拟结果大致反映了实际观测的洪泛平原一般的形成过程及基本特徵，但是Howard模型还有许多缺陷，比如它很少产生自然堤，而且有些地貌特徵与实际特徵有较大出入。
除了对洪泛平原数学模型的研究，近来地貌学界也开始运用卫星遥感技术，对洪泛平原的地貌特徵及洪泛平原上周期性洪水满岸漫流特徵，作大尺度定量测量，并用随机理论及统计数学的最新发展(例如fractal理论)，对洪泛平原的特徵进行数量描述。这方面的发展对洪泛平原形成机理的研究、数学模型的发展和对洪泛平原的利用将有重大的意义。
结语
本文对洪泛平原地貌特徵、形成机理和数学模型发展现状做了一个简单的介绍。从中可以看出，洪泛平原作为一种冲积地貌，是许多环境因素长期作用下的产物，它的形成过程是很复杂的。在影响它形成的因素中，流域水文特徵、河道水文水力特徵及其泥沙条件，对洪泛平原的形成起着决定性作用，在洪水期间尤其如此。侧向侵蚀与堆积和垂直向堆积是洪泛平原形成的两个主要地貌过程，它们主要发生在洪水期间。
目前，地貌学界对洪泛平原形成机理和数学模型的研究还很不成熟。虽然数学模型的研究中，某些方面，如对河道水流和泥沙运移等方面数学模型的研究，已发展得比较完善，但是，把洪泛平原作为一个整体系统来进行的研究还处在描述阶段。而洪泛平原的形成过程之长、影响其形成的因素之复杂，使得我们几乎不可能在任何人工控制的试验中重复这一形成过程。洪泛平原研究所面临的一个重要的课题，就是发展以洪泛平原形成的物理机理为基础的数学模型。此类数学模型不仅可以用来模拟洪泛平原形成过程，而且还可以用来预测其环境因子的变化对洪泛平原形成过程及地貌特徵的影响。
目前，对洪泛平原的研究多侧重于自然形成过程；然而，随着人类对洪泛平原利用的不断扩大，洪泛平原将会受到极大的影响。例如，河道上游及沿河土地利用、大型河道工程等，对洪泛平原地貌的长远变迁、以及对整个河道走廊生态体系的影响是非常大的，而且有些影响还很可能是不可逆转的。因此，对洪泛平原地貌的研究必须考虑人类行动的后果，特别是那些巨型大坝建造后可能产生的后果，以避免由于人类的活动而造成不可逆转的对生态和环境的负作用。
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